Hvor mange farver skal man bruge for at farve at landkort, så ingen nabolande får samme farve?
Det er tilsyneladende et meget uskyldigt spørgsmål, men ikke desto mindre har det givet den moderne matematik en hel del problemer. Og det på mere end én måde.
For det første skulle man jo svare på selve spørgsmålet: Hvor mange farver skal man bruge, så ingen nabolande får samme farve?
Ud fra praktiske erfaringer med landkort havde man på fornemmelsen, at man nok kunne klare sig med fire, men for at være helt sikker, måtte man selvfølgelig finde et rigtigt matematisk bevis for sagen.
Firefarvesætningen bevist efter 100 år
Det viste sig imidlertid at være lettere sagt end gjort. Matematikerne begyndte at lede efter et bevis for firefarvesætningen, som påstanden om de fire farver blev kaldt, i midten af 1800-tallet, men først i 1976 lykkedes det de tre matematikere Kenneth Appel, Wolfgang Haken og John Koch at finde et bevis.
Nu skulle man tro, at det var enden på historien, men faktisk er det først her, den for alvor begynder at blive interessant. For de tre matematikere havde nemlig ikke lavet hele beviset selv. De havde bare reduceret problemet til omkring 2.000 specialtilfælde, som de så havde fået en computer til at undersøge ét for ét.
Det er der sådan set ikke noget galt i, men problemet var bare, at det havde taget computeren godt syv uger at løse opgaven, og i det tidsrum havde den lavet så mange beregninger, at det vil være komplet umuligt for noget menneske nogensinde at tjekke dem alle igennem. Derfor er vi altså nødt til at stole på, at computeren har regnet rigtigt, hvis vi vil tro på, at beviset er korrekt.
En computeren pålidelig?
Og det er et problem, for matematisk viden er altid blevet opfattet som en særlig sikker form for viden. Man kan udelukkende opnå matematisk viden ved at tænke sig om, og derfor er matematikken ikke ramt af den grundlæggende usikkerhed, der karakteriserer erfaringsvidenskaber som fysik og kemi. Men det, at en computer er pålidelig, er ikke noget, man kan tænke sig frem til.
For at vide, om man kan stole på en computer, er man nødt til at trække på viden om, hvordan computerkredsløb mv. fungerer, og den slags viden er erfaringsviden, og dermed usikker. Af den grund føler en del matematikere, at det at acceptere beviset for firefarvesætningen vil føre til en fundamental ændring af selve matematikkens natur.
Accepterer man den slags beviser, vil matematikken komme til at indeholde et element af erfaringsviden, og vil dermed miste sin sikkerhed. Den skepsis har bl.a. ført til, at et andet computerassisteret bevis (nemlig Thomas Hales bevis for Keplers formodning) blev afvist af det ansete tidsskrift Annals of Mathematics.
Beviserne er måske ikke så forskellige
Spørgsmålet er nu, om skeptikerne har ret.
Hvis man ser nærmere efter, er computerassisterede beviser måske slet ikke så forskellige fra andre beviser. Det er jo ikke alle beviser, der umiddelbart kan overskues og gennemtjekkes med tanken alene. Det mest ekstreme eksempel er nok beviset for den såkaldte 'enorme sætning' om klassificeringen af alle endelige grupper.
Her arbejdede flere hundrede matematikere sammen, og beviset blev offentliggjort i mindre bidder i over 500 videnskabelige artikler, der tilsammen fyldte mere end 15.000 sider.
Det er klart, at dette bevis på et afgørende punkt ligner beviset for firefarvesætningen: Beviset er så langt, at det er meget vanskeligt for ikke at sige umuligt for en enkelt person at overskue og gennemtjekke det. Derfor bliver man nødt til at stole på andre matematikere, hvis man vil tro på, at beviset er korrekt.
Men det, at bestemte matematikere er pålidelige, er ikke noget, man kan tænke sig frem til. Det må bero på erfaringer med deres tidligere arbejder - fx helt banalt, at de har været i stand til at bestå deres matematikeksaminer og har været så driftsikre, at de er blevet ansat på et universitet.
Min tillid bygger på erfaring
Et lignende argument kan benyttes for mange andre beviser.
Det er sjældent, at en matematiker beviser en sætning helt fra bunden. Som oftest bygger man videre på sætninger, andre matematikere har bevist, og så gennemtjekker man ikke nødvendigvis deres bevis, men stoler på, at de har regnet rigtigt. Og sådan kunne man blive ved. Når det kommer til stykket, kan jeg jo ikke engang tænke mig til, at jeg selv regner rigtigt. Min tillid (og mangel på samme!) til min egen tænkekraft, bygger jo på en erfaring af, i hvilken grad jeg plejer at kunne tænke korrekt.
Så med andre ord kommer vi ikke uden om, at der er et element af erfaring i matematikken: Vi bliver nødt til at have en erfaringsbaseret tillid til, at den, der har lavet et bevis, har lavet det rigtigt, og det gælder hvad enten det er en computer, en matematiker eller mig selv, der har stået for de matematiske ræsonnementer.
Dermed er matematisk viden måske ikke helt så stensikker, som man traditionelt har troet. Som Brian Hayes bemærkede det: "Mathematical proof is foolproof, it seems, only in the absence of fools" (American Scientist, 2007, vol. 95, nr. 1, side 10-15).
Matematik bygger på argumenter
I sidste ende er det væsentlige måske heller ikke så meget hvem (eller hvad) der har lavet et bevis, men den type af argumenter, der indgår i det. Og her adskiller matematik sig fortsat fra andre videnskaber. I matematik accepterer vi kun logiske slutninger og ræsonnementer, mens man i andre videnskaber (i det mindste i natur- og socialvidenskaberne) bygger sin viden på eksperimenter og erfaringer indhøstet gennem observation.
At vi så i matematikken er nødt til at have en empirisk funderet tillid til, at den agent (computer eller menneskelig) der gennemfører de logiske slutninger gør det korrekt, er så en anden sag, men det er der sådan set ikke noget nyt i, og det er ikke noget introduktionen af computerassisterede beviser ændrer på.
Denne artikel er oprindeligt publiceret som et blogindlæg.
